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- 发布日期：2025-01-04 16:45 点击次数：183
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自由群与有限生成交换群（续）
这些天忙来忙去，一直没时间，就只是回答了几个问题，返回来一看“自由群与有限生成交换群”只是开了个头。今天我还是继续写点吧。
先说如何判断一个Able群是有限生成的
Able群H是有限生成的[IMG]?cht=tx&chl=\[\Longleftrightarrow\][/IMG]H是一个有限基自由Able群的商群
[IMG]?cht=tx&chl=\[\Longleftarrow\][/IMG]设[IMG]?cht=tx&chl=\[\varphi :F \rightarrow H\][/IMG]是满同态，其中F是有限基的自由群。设F的基为[IMG]?cht=tx&chl=\[\{ f_{1},f_{2}, \cdots ,f_{r} \}\][/IMG]，则显然[IMG]?cht=tx&chl=\[\{ \varphi (f_{1}), \varphi(f_{2}), \cdots ,\varphi(f_{r}) \}\][/IMG]是H的生成元组。
[IMG]?cht=tx&chl=\[\Longrightarrow\][/IMG]取H的生成元组[IMG]?cht=tx&chl=\[\{ f_{1},f_{2}, \cdots ,f_{r} \}\][/IMG]，取有限基自由Able群[IMG]?cht=tx&chl=\[F=Z\oplus Z\oplus \cdots Z\][/IMG]，定义映射[IMG]?cht=tx&chl=\[\varphi :F \rightarrow H\][/IMG]为[IMG]?cht=tx&chl=\[\varphi(n_{1},n_{2},\cdots,n_{r})=\sum_{i=1}^{r}n_{i}f_{i}\][/IMG]
由于[IMG]?cht=tx&chl=\[f_{i}\][/IMG]是基，所以这是一个满同态，从而H就是它的商群
挠子群：有限生成Able群H的所有有限阶元构成的子群称为其挠子群。记作[IMG]?cht=tx&chl=\[T_{H}\][/IMG]
下面我先给出一个需要用到的高等代数上的一个小定理：[IMG]?cht=tx&chl=\[ r_{1},r_{2}, \cdots ,r_{n}\][/IMG]都是整数，最大公约数是1，那么存在一个n*n矩阵A，使得，[IMG]?cht=tx&chl=\[A\left(\begin{array}{cccc}r_{1}\\r_{2}\\\vdots\\r_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1\\0\\\vdots\\0\end{array}\right)\][/IMG]
下面我给出一个重要结论：
没有有限阶非0元的有限生成Able群是自由的。
证明：设H是有限生成Able群，没有有限阶非0元。既然是有限生成的，那么最少存在一个生成元组是有限个元素。取一个生成元组，使得它的元素是最少的。不妨设是：[IMG]?cht=tx&chl=\[ \{ a_{1},a_{2}, \cdots ,a_{n}\}\][/IMG]
下面说明它自由生成H，否则，存在不全为0的整数[IMG]?cht=tx&chl=\[ r_{1},r_{2}, \cdots ,r_{n}\][/IMG]使得，[IMG]?cht=tx&chl=\[ r_{1}a_{1}\][/IMG]+[IMG]?cht=tx&chl=\[ r_{2}a_{2}\][/IMG]+[IMG]?cht=tx&chl=\[\cdots\][/IMG]+[IMG]?cht=tx&chl=\[ r_{n}a_{n}\][/IMG]=0，由于H没有有限阶的非0元，可以要求各个r的最大公约数是1。（如果不是1，可以约去变成1）从而就有一个矩阵A使得[IMG]?cht=tx&chl=\[A\left(\begin{array}{cccc}r_{1}\\r_{2}\\\vdots\\r_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1\\0\\\vdots\\0\end{array}\right)\][/IMG]成立
取[IMG]?cht=tx&chl=\[(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n})=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})A^{-1}\][/IMG]，则[IMG]?cht=tx&chl=\[\{b_{i}\}\][/IMG]也是H的生成元。并且[IMG]?cht=tx&chl=\[b_{1}=(b_{1},b_{2},\cdots\,b_{n})\left(\begin{array}{cccc}1\\0\\\vdots\\0\end{array}\right)=(b_{1},b_{2},\cdots\,b_{n})A\left(\begin{array}{cccc}r_{1}\\r_{2}\\\vdots\\r_{n}\end{array}\right)\][/IMG]，
代人得[IMG]?cht=tx&chl=\[b_{1}=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})\left(\begin{array}{cccc}r_{1}\\r_{2}\\\vdots\\r_{n}\end{array}\right)=\sum_{i=1}^n r_{i}a_{i}\][/IMG]
于是[IMG]?cht=tx&chl=\[\{b_{2},b_{3},\cdots,b_{n}\}\][/IMG]也是H的生成元组。而这个生成元组只有n-1个元素，与生成元组最少需要n个矛盾。所以[IMG]?cht=tx&chl=\[\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\}\][/IMG]自由生成H。
